טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל שמרכזו ורדיוסו r המשיק למעגל בנקודה חותך את המשכו של הרדיוס בנקודה ( ) α < 45 =α הבע את רדיוס המעגל החוסם את המשולש באמצעות r ו- α הבע את שטחו של המשולש באמצעות r ו- α r tn α r tnα א ב sin α cosα נתון א ב E g R שאלה המשולש שווה-צלעות חסום במעגל שרדיוסו E = γ היא נקודה על המעגל נתון: E הוכח: E + E = E D ( D) D שאלה 4 בטרפז שווה-שוקיים האלכסון D 45 8 שאורכו 8 ס"מ יוצר זווית בת 45 עם הבסיס הגדול D אורך הבסיס קטן ב- ס 8 "מ מכל שוק של הטרפז חשב את אורך הבסיס D 14 ס"מ = D 1
מ'' מ'' מ'' טריגונומטריה במישור 5 יח"ל (t > 0) = t, = 15 נתון:, = המשולש, t שאלה 5 במשולש עבור אילו ערכי או יהיה קהה זווית? 0 < t < 5 t > 1 7 E 4 60 שאלה 6 במשולש הוא חוצה הזווית E E = 60 = E, = E, ס 7 נתון: ס 4 חשב את אורכו של E א חשב את גודל הזווית ב 489 1 ב ס 9 א D m n ( = D= 90,< D, D) D שאלה 7 בטרפז ישר-זווית חסום מעגל שמרכזו חיברו את עם הקודקודים ו- נתון: = n, = m n sin mn הוכח כי: = D m n + הבע את היקף הטרפז D באמצעות m ו- א ב ( ) + + m + n m n m n ב b 1 E M g M תיכון ( = ) 1 שאלה 8 במשולש נתון:, = γ, =β לצלע E, חוצה את הזווית E sin γ = M sinβ+ sin γ הוכח:
טריגונומטריה במישור 5 יח"ל שאלה 9 N D E M N במשולש הנקודה E היא אמצע של, ונקודה M היא אמצע של אנך אמצעי לצלע חותך את בנקודה, D ואנך אמצעי לצלע חותך את בנקודה b N D 1 =, =,= נתון: b N 5 D הבע את אורכי הצלעות ו- באמצעות = b 0 15 b 10, = 10 d d 15d = d ( = 90 ), = d שאלה 10 בתוך משולש ישר-זווית חסום מעגל שמרכזו א ב נתון מצא את הזוויות החדות של המשולש הבע את אורכי הצלעות של המשולש באמצעות d א,55 5448 ב,189d, d
טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל 807 010 שאלונים 006 9 - השאלות 11 מתאימות למיקוד קיץ ו- זוויות במרחב זווית בין ישר למישור ω, ω h ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לכל ישר הנמצא במישור כדי לקבוע אם ישר ניצב למישור ניעזר במשפט הבא: משפט h אם ישר מאונך לשני ישרים שונים במישור ω של הישר עם המישור, אזי הישר h מאונך למישור ω כולו מאונך לכל ישר הנמצא במישור העוברים דרך נקודת החיתוך (כלומר, הישר h ( ω, h מקביל ל- h והישר ω הערה אם הישר h מאונך למישור למישור ω אזי גם הישר h מאונך ישר החותך את מישור ω ואיננו ניצב לו נקרא משופע למישור בנקודה ω משופע חותך את המישור h l מנקודה (נקודה כלשהי על המשופע) w p נוריד אנך ישר h החותך את המישור בנקודה p העובר דרך הנקודות המשופע על המישור ו- נקרא היטל הזווית החדה שבין ישר משופע למישור לבין היטלו של הישר על המישור, נקראת זווית בין ישר למישור ω בציור הנ"ל, הזווית בין ישר למישור היא הזווית 4
טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל זווית בין שני מישורים w d n n1 w 1 אם לשני מישורים יש נקודה משותפת, אזי יש להם ישר ω ישר חיתוך משותף ω 1 ו- חיתוך משותף למישורים מנקודה (נקודה כלשהי על ישר ( d נעלה שני אנכים: n מאונך ל- d במישור n 1 מאונך ל- d במישור ו- הזווית החדה הזווית בין המישורים d ω ω 1 α הכלואה בין n היא n 1 לבין ω 1 ו- ω (ראה ציור) זווית בין שני מישורים היא הזווית הכלואה בין שני האנכים לישר החיתוך המשותף האנכים יוצאים מנקודה כלשהי על ישר החיתוך ונמצאים במישורים שונים הערה אם הזווית בין שני מישורים היא זווית ישרה, אזי המישורים מאונכים זה לזה משפט אם ישר מאונך למישור נתון, אזי כל מישור שבו נמצא ישר זה מאונך גם הוא למישור הנתון משפט שלושת האנכים משופע ו-, ω נתון: אנך למישור הוא היטלו של על המישור דרך נקודה w m עובר ישר m הנמצא במישור (ראה ציור) משפט אם ישר עובר במישור דרך נקודת החיתוך של משופע עם המישור והוא להיטלו של המשופע על המישור, אזי הישר מאונך גם למשופע מאונך (אם הישר m מאונך ל-, אזי m מאונך ל- ) 5
טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל משפט הפוך אם ישר עובר במישור דרך נקודת חיתוך של משופע עם המישור והוא מאונך למשופע, אזי הישר מאונך גם להיטלו של המשופע על המישור (אם הישר m מאונך ל-, אזי m מאונך גם ל- ) פירמידה פירמידה פאון בו פאה אחת היא מצולע, הנקרא בסיס, ושאר הפאות הן משולשים הבנויים כל אחד על צלע אחת של הבסיס ונפגשים בנקודה אחת, הנמצאת מחוץ למישור הבסיס ונקראת קודקוד הפירמידה פאות הפירמידה מקצועות צדדיים מקצועות הבסיס גובה הפירמידה המשולשים הצדדיים ישרי החיתוך של הפאות צלעותיו של מצולע הבסיס אנך היורד מקודקוד הפירמידה למישור הבסיס פירמידה ישרה פירמידה שבה הגובה פוגש את הבסיס במרכז המעגל החוסם את הבסיס בפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדיים שווים בפירמידה ישרה כל הזוויות בין המקצועות הצדדיים לבסיס שוות פירמידה משוכללת פירמידה ישרה שבה הבסיס הוא מצולע משוכלל שטח המעטפת סכום שטחן של כל הפאות הצדדיות שטח הפנים סכום שטחם של המעטפת והבסיס נפח הפירמידה שליש ממכפלת שטח הבסיס בגובה 6
טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל - P שטח הפנים, - V נפח - H גובה הפירמידה - M שטח המעטפת, - שטח הבסיס, P=M+ שטח הפנים: 1 V= H הנפח: נגדיר: פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות M= h ( - צלע הבסיס, h גובה הפאה הצדדית) שטח המעטפת: H h שים לב: שטח משולש שווה-צלעות שצלעו הוא: 1 = sin60 = 4 E P= h+ 4 ( - צלע הבסיס, - h גובה הפאה הצדדית) שטח הפנים: 1 H V= H V= 4 1 ( - צלע הבסיס, - H גובה הפירמידה) הנפח: פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע M = h - צלע הבסיס, - h גובה הפאה הצדדית ( ) שטח המעטפת : D H h E P = + h שטח הפנים : ) - צלע הבסיס, - h גובה הפאה הצדדית ( - גובה הפירמידה ( 1 הנפח : H V= H צלע הבסיס, - ) 7
טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל 5 שאלה 11 נתונה פירמידה ישרה, משולשת ומשוכללת רדיוס המעגל החוסם את הבסיס הוא ס"מ = R, הזווית שבין המקצוע הצדדי לצלע הבסיס היא בת 5 א חשב את שטח המעטפת של הפירמידה ב חשב את גובה הפירמידה א 691 סמ"ר ב 11 ס"מ שאלה 1 בפירמידה ישרה הבסיס הוא משולש שווה-צלעות אורך צלע המשולש הוא ס 6 "מ נפח הפירמידה הוא 7 סמ"ק חשב את הזווית שבין הפאה הצדדית 6 6 6 לבסיס הפירמידה 764 שאלה 1 נתונה פירמידה ישרה שבסיסה משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ( = ) אורך של כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה שווה לאורך היתר של הבסיס א חשב את הזווית בין המקצוע למישור הבסיס של הפירמידה ב נתון כי אורך היתר של הבסיס שווה ל- 6 ס"מ חשב את נפח הפירמידה א 60 ב 441 סמ"ק 5 8 שאלה 14 בפירמידה ישרה שבסיסה משולש,( = 90 ישר-זווית ) נתון: = 5, ס 8 "מ =, הזווית בין הפאה הצדדית לבסיס הפירמידה היא 67 חשב את גובה הפירמידה 77 ס"מ 8
טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל שאלה 15 היא פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים, = α הזווית, = נתון: ( = ) שבין המקצוע הצדדי של הפירמידה לבין בסיס הפירמידה היא β הבע את נפח הפירמידה באמצעות β, α ו- tn 48sin β α H b שאלה 16 בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים,( = ) נתון: = β וגובה הפירמידה שאורכו H יוצר זווית α עם המקצוע הצדדי של הפירמידה הבע את נפח הפירמידה באמצעות α, H ו- β α β β H tn sin sin שאלה 17 נתונה פירמידה ישרה משוכללת שבה המקצוע הצדדי שווה למקצוע הבסיס (טטראדר) אורך צלע הבסיס הוא א חשב את הזווית בין הפאה הצדדית לבסיס הפירמידה ב הבע את נפח הפירמידה באמצעות א 705 ב 01, D שבסיסה ריבוע D שאלה 18 בפירמידה ישרה והזווית בין המקצוע אורך צלע הבסיס שווה ל- ס 5 "מ, הצדדי לבין מישור הבסיס היא 5 א חשב את שטח המעטפת של הפירמידה ב חשב את שטח הפנים של הפירמידה חשב את נפח הפירמידה ג 917 סמ"ק ג 78 סמ"ר ב א 5 סמ"ר 9
טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל H שאלה 19 נתונה פירמידה ישרה D שבסיסה ריבוע D גובה הפירמידה הוא H והזווית בין הפאה הצדדית לבין בסיס הפירמידה היא β הבע את שטח הפנים של הפירמידה באמצעות H ו- β ( + β) 4H 1 cos tn β sinβ 9 4 57 שאלה 0 בפירמידה ישרה משולשת שבסיסה,, = 9 נתון: ס 4 "מ =, = 57 והזווית בין המקצוע הצדדי לבין בסיס הפירמידה שווה ל- 66 חשב את נפח הפירמידה 1065 סמ"ק β ו- שאלה 1 בפירמידה ישרה שבסיסה משולש, נתון: = = = והזווית בין הפאה β לבסיס הפירמידה היא הבע את הגובה של הפירמידה באמצעות cosβ b שאלה בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים,(=) =, = β, נתון: α= tn α tn tn α tnβ β הוכח כי גובה הפירמידה שווה ל- 10
טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל c שאלה שבסיסה הוא משולש, = c β, = α, בפירמידה ישרה, ( = 90 ישר-זווית ) והזווית בין המקצוע נתון: לבסיס הפירמידה היא c ו- β, α הבע את נפח הפירמידה באמצעות c 4 sin αtn β D 4 שאלה 4 בפירמידה ישרה D שבסיסה מלבן, D נתון: ס 4 "מ =, ס "מ = ; נפח הפירמידה שווה ל- 4 סמ"ק א חשב את שטח המעטפת של הפירמידה ב חשב את הזווית שבין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה א 468 סמ"ר ב 678 d D b, D 4 d ו- β שבסיסה מלבן D שאלה 5 בפירמידה ישרה d; אורך המקצוע הצדדי הוא = β, = α הבע את נפח הפירמידה באמצעות, α d sin αsin β cos α sin β שאלה 6 היא פירמידה ישרה ומשוכללת גובה הפירמידה שווה למקצוע הבסיס א חשב את הזווית בין המקצוע הצדדי למישור הבסיס ב חשב את הזווית בין שתי הפאות הצדדיות של הפירמידה א 60 ב 678 11
טריגונומטריה במרחב 5 יח"ל שאלה 7 בפירמידה ישרה D שבסיסה ריבוע, D = γ נתון:, = m א הבע את נפח הפירמידה באמצעות m ו- γ ב הזווית בין הפאה הצדדית של הפירמידה לבין הבסיס היא β הראה כי: = γ tn β tn א m sin γ sin γ 5 שאלה 8 בסיסה של פירמידה ישרה הוא משולש ישר-זווית ודרך קודקוד דרך גובה הפירמידה ( = 90 ) העבירו מישור היוצר זווית בת 50 עם הפאה הצדדית הזווית בין המקצוע הצדדי לבין המקצוע הצדדי שווה ל- 5 א חשב את הזווית שבין המקצועות הצדדיים ו- ב חשב את הזווית בין המקצוע לבין מישור הבסיס א 65 ב 6099 6 שאלה 9 בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים,( = ) נתון: = 6 והזווית בין המקצוע הצדדי לבסיס שווה ל- 71 חשב את הזווית בין הפאות הצדדיות ו- 5678 1